肇庆鼎湖区云梯车出租,  肇庆四会区云梯车出租,  肇庆端州区云梯车出租       基于改进模糊Jacobi算法的云梯车欠驱动机械臂PID控制         1欠驱动机械臂系统的分布式控制是一种典型的欠驱动机械系统，其执行器要比其自由度（DOF）更少，这种系统的优点是降低执行器的成本和重量，节省能源，同时在执行器故障的情况下提高系统的可靠性。另外，欠驱动的机械系统通常具有二阶非完整约束，并且在整个运动空间中不能完全线性化，其机械臂的共同控制目标通常是将其从任意初始位置上驱动，并将其平衡在水平且不易稳定的平衡位置。因此，他们的控制问题在控制理论和应用中都是非常重要的。如今的欠驱动机械系统通常分为两类：垂直运动机械臂，它是考虑了重力效应的机械臂，而水平运动的机械臂则没有考虑。垂直欠驱动机械臂的控制已受到许多学者的广泛关注，且这种系统的控制方法已经比较成熟；相反，平面欠驱动的机械臂仍然没有找到有效的控制方法。然而，随着航天工程和深海检测工程的发展，平面欠驱动机械臂的控制逐渐成为重要的研究方向。具有第一关节被动的平面n关节欠驱动机械臂具有完整的系统（平面Acrobot，n=2）和一阶非完整系统（n>2）。由于其平衡点的线性逼近模型是不可控的，所以垂直欠驱动机械臂的控制方法并不适用于平面系统。因此，这种系统的稳定控制是未来一个很大的挑战，而为了实现这一具有挑战性的目标，提出了稳定平面Acrobot的控制策略。根据同样的原理，提出了一种两阶段控制方法来实现带有被动第一关节的平面三关节的欠驱动机械臂的位移控制目标。在其控制的每个阶段，平面三关节机械臂就像一个平面Acrobot。然而，由于涉及n-2个切换过程以及n-1个控制器，所以这种方法过于复杂。为了解决这个问题，  提出了一种相对简单的控制策略来实现轨迹控制目标，其方法是只依次控制两个活动关节到目标角度，并保持其余n-3个活动关节不变。虽然控制器只切换一次，但通过使用介绍的控制策略，平面n连杆欠驱动机械臂的一些可控位置变得不可控制。最近，软计算方法已被用于控制欠驱动系统，而且有一些关于平面欠驱动机械臂系统的研究开始使用模糊控制策略，然而在实践中，由于没有足够理想条件，可能会出现其他的一些问题，这对末端执行器的精确控制具有很大的负面影响，其中一些不可避免的情况如，电动执行器中的死区以及关节中的库仑阻尼和重力。为了解决这个问题，需要在其控制算法中进行调整，提出了一种调整后的改进有效雅可比矩阵（MTEJ）控制算法，该算法通过适当调整切换增益矩阵来改进和促进MTEJ算法的实现，这可以在存在严重干扰和噪声的情况下提高性能。该方法在减少系统计算量的同时，也避免了不确定性。很少有将这类方法应用于时延及其他不确定性的影响下。本文重点研究了系统不确定性和时延影响下Jacobi比模糊算法（JRFA）PD控制的欠驱动移动机器人。在第二节中，简要回顾了在时延影响下带有H∞控制器的机械臂系统，并介绍了Jacobi算法。然后，在第三节中设计了规则修正转置雅可比模糊控制器来建立新的系统模型。第四节中，利用Lyapunov理论分析了误差状态反馈控制的稳定性并通过MATLAB平台下Truetime工具箱的仿真实验，利用数值仿真实例对网络控制下移动机械臂的运动轨迹进行分析，并描述了该方法的有效性和优越性。最后，将该系统与ABB系统相结合分析了提出方法的可行性。

       2问题描述,  本节考虑在五自由度工作空间中的一个n连杆机器人操纵器。这种刚性欠驱动的移动机械臂具有’a’主动和’p’被动关节的动力特性可以使用欧拉-拉格朗日运动方程充分导出[68]：𝑀𝑇=𝑀(𝑥)𝑥̈+𝐶(𝑥,𝑥̇)𝑥̇+𝐹(𝑥̇)+𝐺(𝑥)（4.1）其中MT是n维转矩矢量，x=[xaT+xpT]T是n维关节位置矢量，M(x)是n×n阶对称正定惯性矩阵，C(x,ẋ)ẋ是n×n里奥利矩阵和向心力矩矩阵，F(ẋ)是n维与机械臂速度相关的摩擦转矩矢量，G(x)是n维重力转矩矢量，当机器臂在水平面上移动时，引力项可以省去。参数矩阵M(x)，C(x,ẋ)，F(ẋ)和G(x)可被分成额定部分和扰动部分：𝑀(𝑥)=𝑀0(𝑥)+∆𝑀(𝑥)𝐶(𝑥,𝑥̇)=𝐶0(𝑥,𝑥̇)+∆𝐶(𝑥,𝑥̇)（4.2）𝐹(𝑥̇)=𝐹0(𝑥̇)+∆𝐹(𝑥̇)𝐺(𝑥)=𝐺0(𝑥)+∆𝐺(𝑥)其中M0(x)，C0(x,ẋ)ẋ，F0(ẋ)，G0(x)是标称矩阵，并且∆M(x)，∆C(x,ẋ)，∆F(ẋ)，∆G(x)是参数不确定性。与第二章运算相同，将式（4.1）重定义为：𝑀𝑇+𝛿(𝑥,𝑥̇,𝑥̈)=𝑀0(𝑥)𝑥̈+𝐶0(𝑥,𝑥̇)𝑥̇+𝐹0(𝑥̇)+𝐺0(𝑥)（4.3）其中δ(x,ẋ,ẍ)=-(∆M(x)ẍ+∆C(x,ẋ)ẋ+∆F(ẋ)+∆G(x)-wd)。考虑的控制对象依旧为具有n个关节的机械臂，其中na表示激活运行关节，且np则表示未被激活运行关节，其中na+np=n。未被激活关节配有开/关制动器，称为被动关节，激活的关节则被称为主动关节。将受控的na个关节分到矢量xc∈Rna中，表示受控关节的矢量组，其他所有状态的关节则被分到矢量xr∈Rnp中，表示其余关节的矢量。由此，考虑两种可能的方法来构造向量xc：1）xc只包含活动关节：所有被动关节都保持锁定状态。2）xc只包含被动关节：不在xc中的所有被动关节（如果存在）都被锁定。由于机械臂有以上两种可能的方式，式（4.1）可以按照以下方式分为驱动和欠驱动部分：[𝑀𝑇𝑎0]+[𝛿𝑎(𝑥,𝑥̇,𝑥̈)𝛿𝑝(𝑥,𝑥̇,𝑥̈)]=[𝑀𝑎𝑐(𝑥)𝑀𝑎𝑟(𝑥)𝑀𝑝𝑐(𝑥)𝑀𝑝𝑟(𝑥)][𝑥̈𝑐𝑥̈𝑟]+[𝐶𝑎𝑐(𝑥,𝑥̇)𝐶𝑎𝑟(𝑥,𝑥̇)𝐶𝑝𝑐(𝑥,𝑥̇)𝐶𝑝𝑟(𝑥,𝑥̇)][𝑥̇𝑐𝑥̇𝑟]+[𝐹𝑎(𝑥̇)𝐹𝑝(𝑥̇)]+[𝐺𝑎(𝑥)𝐺𝑝(𝑥)]（4.4）其中下标ac，ar，pc和pr表示主动和被动关节中的转矩和加速度与受控关节和剩余关节中的转矩和加速度相关联。将式（4.4）的第二行中的ẍr分解，并将结果代入第一行，可得：𝑀𝑇𝑎+𝛿̅(𝑥,𝑥̇,𝑥̈)=𝑀̅0(𝑥)𝑥̈𝑐+𝐶̅0(𝑥,𝑥̇)𝑥̇𝑐+𝐷̅0(𝑥,𝑥̇)𝑥̇𝑟+𝐹̅0(𝑥̇)+𝐺̅0(𝑥)（4.5）其中M̅0(x)，C̅0(x,ẋ)，D̅0(x,ẋ)，F̅0(ẋ)，G̅0(x)已在第一章中给出。参考雅可比矩阵，则任务速度ẋ可写为：𝑥̂̇=𝐽(𝑥)𝑥̇,𝐽(𝑥)∈𝑅𝑛𝑎×𝑛𝑝（4.6）参照式（4.4），将雅可比矩阵分为动力模型和动力模型等欠驱动部分：𝐽(𝑥)=[𝐽𝑐(𝑥)𝐽𝑟(𝑥)],𝐽𝑐(𝑥)∈𝑅𝑛×𝑛𝑎,𝐽𝑟(𝑥)∈𝑅𝑛×𝑛𝑝（4.7）其中有效雅可比矩阵J̅c(x)满足以下关系：𝐽̅𝑐(𝑥)=𝐽𝑐(𝑥)−𝐽𝑟(𝑥)𝑀−1𝑝𝑟(𝑥)𝑀𝑝𝑐(𝑥)（4.8）[101]的论证表明，在n=na的情况下，启动转矩（MTa）与实时状态转矩（MTad）之间的关系为：𝑀𝑇𝑎=𝐽̅𝑐𝑇(𝑥)𝑀𝑇𝑎𝑑（4.9）其中索引d表示机械臂实时状态的数据，则机器人实时模型可定义为：𝑀𝑇𝑎𝑑=𝑀̃0(𝑥)𝑥̈𝑐+𝐽̅𝑐−𝑇(𝑥)𝑀̅0(𝑥)𝐽̅𝑐−1(𝑥)(𝐽(𝑥)𝑀0−1(𝑥)(𝐶0(𝑥,𝑥̇)𝑥̇+𝐹0(𝑥̇)+𝐺0(𝑥)−𝛿(𝑥,𝑥̇,𝑥̈))−𝐽(̇𝑥)𝑥̇)（4.10）其中M̃0(x)=J̅Tc(x)M̅0(x)J̅-1c(x)。根据[68]中的描述，为了获得适合于非线性控制方法的形式表达该方程，可以将时域中的状态跟踪误差定义为：𝑒(𝑡)=𝑥̂𝑑(𝑡)−𝑥̂(t)

       3控制器的设计,    1修正转置的雅可比控制器本文控制器需要达到的控制目的是使输出变量x̂和它的变化速率跟踪实时的[x̂d(t)x̂̇d(t)]向量。之前已经假定机械臂的动态特性是未知的，当第二关节为被动状态时，则有效雅可比矩阵变可变成非模型矩阵，因此使用式（4.6）-（4.9）中的有效雅可比矩阵和[17]中介绍的修正转置雅可比方法获得此时的控制器为：𝑀𝑇𝑎=𝐽̅𝑐𝑇(𝑥)(𝑘𝑃𝑒̇(𝑡)+𝑘𝐷𝑒(𝑡)+𝜎(𝑡)𝑀𝑇𝑎𝑑|𝑡−∆𝑡)（4.12）其中e(t)是位移误差，MTad|t-∆t是一段时间的实时转矩。σ(t)是切换系数，以防止e(t)和ė(t)较大时产生的超大转矩。为了实现更柔和的切换，可通过以下等式获得系数σ(t)：𝜎(𝑡)=𝑒𝑥𝑝(−(|𝑒(𝑡)|𝑒𝑚𝑎𝑥(𝑡)+|𝑒̇(𝑡)|𝑒̇𝑚𝑎𝑥(𝑡)))

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            2积分器修正转置的雅可比算法以往的中基于模型的方法（MBM）不需要雅可比矩阵的逆矩阵及其时间导数，这是实施MBM所必需的。因此，尽管有MBM控制器，但很明显，所提出的控制器不会陷入奇点[101]。然而，在实践运行中观察到，这些控制器的准确性受到严重影响，这是因为电动执行器中的死区和关节摩擦等实际问题，尤其是库仑阻尼。这样的问题在机械臂中是不可避免的，并且通常是未知的，若没有考虑到它们，就不可能在任务空间中实现精确控制并消除稳态误差。为了解决这个问题，本节中提供了使用加法积分的方法，由此引入下面的法则来替代式（4.12）：𝑀̅𝑇𝑎=𝐽̅𝑐𝑇(𝑥)(𝑘𝑃𝑒̇(𝑡)+𝑘𝐷𝑒(𝑡)+𝑘𝐼∫𝑒(𝑡)𝑡0𝑑𝑡+𝜎(𝑡)𝑀𝑇𝑎𝑑|𝑡−∆𝑡)（4.14）其中kI是加法积分增益。然而，在式（4.14）的实际应用中，也出现了很多困难，如小积分器增益没有足够的能力遇到死区等非线性源，跟踪性能较差等。同时，集成增益的增加会导致其他问题，并可能会使控制效果远离可接受的目标。如前所述，kI的值较大时会使系统不稳定，特别是当初始误差较高时，解决这个问题的办法是限制集成商，只在移除瞬态误差时才进行运算。事实上，它应该只集成之前所提到的因素造成的永久性误差，而对于瞬态误差应该是被动产生的。区分这些误差的关键在于跟踪控制，当瞬态误差被消除时，误差的一阶和二阶导数同时接近于零，控制器在稳定状态下释放误差，然后永久性误差可以使控制器开始计算积分误差。而且，如果该限制只集成永久性误差，那么积分器的增益可以设置得更大，这样也可以更快地消除误差。此外，微分项可以用于减少42过冲，但会使控制器响应变慢，为了解决这个问题，当误差及其派生物有不同的标记时，通过模糊控制器使kD降低。由此，控制器（4.14）将被修改为：𝑀̅𝑇𝑎=𝐽̅𝑐𝑇(𝑥)(𝑘𝑃𝑒̇(𝑡)+𝑘̅𝐷𝑒(𝑡)+𝑘̅𝐼∫𝑒(𝑡)𝑡0𝑑𝑡+𝜎(𝑡)𝑀𝑇𝑎𝑑|𝑡−∆𝑡)（4.15）其中k̅D和k̅I是非固定的微分和积分增益，并通过模糊规则进行调整：𝑘̅𝐷=(1+∆1)𝑘𝐷（4.16）𝑘̅𝐼=(0.5+∆2)𝑘𝐼（4.17）其中-1≤∆1≤1和-0.5≤∆2≤0.5是模糊模块的输出。由于研究的目的在于在网络环境下研究基于非模型控制器的方法（NMBM），所以考虑到网络延迟τ的存在，所以将控制器（4.15）重新定义为：𝑀̅∗𝑇𝑎=𝐽̅𝑐𝑇(𝑥)(𝑘̃𝑃𝑒̇(𝑡)+𝑘̃𝐷𝑒(𝑡)+𝑘̃𝐼∫𝑒(𝑡)𝑡0𝑑𝑡+𝜎(𝑡)𝑀𝑇𝑎𝑑|𝑡−∆𝑡)（4.18）其中𝑘̃𝑃=(1+∆3)𝑘𝑃（4.19）𝑘̃𝐷=(1+∆1+∆4)𝑘𝐷（4.20）𝑘̃𝐼=(1+∆2+∆5)𝑘𝐼（4.21）然后将模糊模模块设置为三个输入变量（误差，速度和加速度）。速度有五个参数：VBN（速度-大-负），VN（速度-负），ZO（零点），VP（速度-正）和VBP（速度-大-正）；加速度误差有五个参数：ABN（加速度-大-负），AN（加速度-负），ZO（零点），AP（加速度-正）和ABP（加速度-大-正）。EN（误差为负）和EP（误差为正）；∆1+∆4有四个参数：OAB1（输出1-主动-负），OPN1（输出1-被动-负），OAP1（输出1-主动-正）和OPP1（输出1-被动-正）；∆2+∆5有三个参数：ON2（输出2-负），LK（锁定）和OP3（输出2-正）；∆3有三个参数：ON3（输出3-负）LK（锁定）和OP1（输出3-正）；

       4稳定性分析定理4.1：如果式（4.18）所描述的控制律应用于欠驱动的机械臂系统（4.3），如果在式（4.7）中有可逆有效雅可比矩阵且n=na，那么寻迹误差是全局渐近稳定的。则PID控制积分稳态值的积分误差可以表示为：𝐼∗=𝐼𝑠−∫𝑘̃𝐼(𝑥̂𝑑(𝑡)−𝑥̂(𝑡))𝑡0𝑑𝑡（4.22）其中Is=∫k̃I(x̂d(t)-x̂(t))ts0dt是积分的稳态值，ts表示稳态下的时间。证明：为了研究所提出的方法在原点处的稳定性，下面的正定函数将被引入作为x̂d(t)≡0的Lyapunov候选函数，𝑉(𝑥̂(𝑡),𝑥̂̇(𝑡))=12(𝑥̂̇𝑇(𝑡)𝐽̅𝑐−𝑇(𝑥)𝑀̅0(𝑥)𝐽̅𝑐−1(𝑥)𝑥̂̇(𝑡)+𝑥̂𝑇(𝑡)𝑘̃𝑃𝑥̂(𝑡)+𝐼∗𝑇𝐼∗)（4.23）其中第一项表示机械臂的动能，而第二项表示人造势能。很容易证明积分的稳态值等于包含死区效应和主动关节摩擦力矩的等效力矩（Is=-J̅cT(x)∫k̃Ix̂(t)t0），机械臂系统中动能的速率等于外力提供的能量，则使：𝑉̇(𝑥̂(𝑡),𝑥̂̇(𝑡))=(𝑥̂̇𝑇(𝑡)𝑀̅∗𝑇𝑐+𝑥̂̇𝑇(𝑡)𝑘̃𝑃𝑥̂(𝑡)+𝑥̂𝑇(𝑡)𝑘̃𝐼𝐼∗)（4.24）其中𝑀̅∗𝑇𝑐=𝐽̅𝑐𝑇(𝑥)(𝑘̃𝑃𝑒̇(𝑡)+𝑘̃𝐷𝑒(𝑡)+𝜎(𝑡)𝑀𝑇𝑎𝑑|𝑡−∆𝑡)（4.25）是电机输出转矩减去有效关节中的有效等效摩擦转矩。由于x̂d(t)≡0，则根据式（4.11），（4.18）和（4.24）可得：𝑉̇(𝑥̂(𝑡),𝑥̂̇(𝑡))=−𝑥̂̇𝑇(𝑡)𝑘̃𝐷𝑥̂̇(𝑡)+𝑥̂̇𝑇(𝑡)𝑘̃𝐼∫𝑥̂𝑇(𝑡)𝑡0𝑑𝑡−|𝑥̂̇𝑇(𝑡)|𝐽̅𝑐𝑇(𝑥)𝑘̅𝐼∫𝑒(𝑡)𝑡0𝑑𝑡+𝑥̂̇𝑇(𝑡)𝜎(𝑡)𝑀̅∗𝑇𝑎|𝑡−∆𝑡+𝑥̂𝑇(𝑡)𝑘̃𝐼𝐼∗（4.26）当t=ti,i=2,3,4⋯n时，𝑉̇𝑖(𝑥̂(𝑡),𝑥̂̇(𝑡))=−𝑥̂̇𝑖𝑇(𝑡)𝑘̃𝐷𝑖𝑥̂̇𝑖(𝑡)+𝑥̂̇𝑖𝑇(𝑡)∑𝑘̃𝐼𝑖𝑛−1𝑖=1𝑥̂𝑖(𝑡)∆𝑡𝑖−|𝑥̂̇𝑖𝑇(𝑡)|𝐽̅𝑐𝑇(𝑥)𝑘̅𝐼𝑗∫𝑒(𝑡)𝑡0𝑑𝑡+𝑥̂̇𝑖𝑇(𝑡)𝜎(𝑡𝑖)𝑀̅∗𝑇𝑎𝑖−1+𝑥̂𝑖𝑇(𝑡)𝑘̃𝐼𝑖𝑥̂𝑖(𝑡)(𝐼∗+∑𝑘̃𝐼𝑖𝑛−1𝑖=1𝑥̂𝑖(𝑡)∆𝑡𝑖)（4.27）证明的目的在于证明函数V̇(x̂(t),x̂̇(t))满足Lyapunov稳定性的负半确定函数，所以可以遵循类似于[101]的“数学归纳法”从而获得需要的结果。由于主44动关节中存在摩擦力矩，则任务空间中j坐标的稳态误差可定义为：𝐸𝑠𝑗=𝐽̅𝑐𝑇(𝑥)𝑘̅𝐼𝑗∫𝑒(𝑡)𝑡0𝑑𝑡𝑘̃𝑃𝑗,(𝑗=1⋯𝑛𝑎)（4.28）其中k̃Pj是k̃P的j对角线元素。因此，重点证明两部分：证明（1）：若Esj≤|x̂̇Tj(t)|，则末端器不处于稳定平衡状态，控制器的比例部分可以产生足够的稳定性来减少误差，因此模糊计算器使控制器的一部分暂时失效，则式（27）可以被新定义为：𝑉̇𝑖(𝑥̂(𝑡),𝑥̂̇(𝑡))=−𝑥̂̇𝑖𝑇(𝑡)𝑘̃𝐷𝑖𝑥̂̇𝑖(𝑡)−|𝑥̂̇𝑖𝑇(𝑡)|𝐽̅𝑐𝑇(𝑥)𝑘̅𝐼𝑗∫𝑒(𝑡)𝑡0𝑑𝑡+𝑥̂̇𝑖𝑇(𝑡)𝜎(𝑡𝑖)𝑀̅∗𝑇𝑎𝑖−1（4.29）当i=1，σ(t)=0时，𝑉̇1(𝑥̂(𝑡),𝑥̂̇(𝑡))=−𝑥̂̇1𝑇(𝑡)𝑘̃𝐷1𝑥̂̇1(𝑡)−|𝑥̂̇1𝑇(𝑡)|𝐽̅𝑐𝑇(𝑥)𝑘̅𝐼1∫𝑒(𝑡)𝑡0𝑑𝑡（4.30）由于V̇1(x̂(t),x̂̇(t))是负半定的，在[101]中，已经证明了所提出的方法，如果V̇i(x̂(t),x̂̇(t))是负半定函数，增益k̃D和k̃P已正确选择且k̃P的值小于k̃D，那么在足够小时间范围内，V̇i+1(x̂(t),x̂̇(t))也是半定的。证明（2）：若Esj>|x̂̇Tj(t)|，假设速度误差逐渐减小直到i=k时刻，某些任务坐标的瞬态误差将被移除，此时的坐标值近似为0，当t=ti+1时，式（4.27）可以定义为：𝑉̇𝑖+1(𝑥̂(𝑡),𝑥̂̇(𝑡))=−𝑥̂̇𝑖+1𝑇(𝑡)𝑘̃𝐷𝑖+1𝑥̂̇𝑖+1(𝑡)−|𝑥̂̇𝑖+1𝑇(𝑡)|𝐽̅𝑐𝑇(𝑥)𝑘̅𝐼𝑗∫𝑒(𝑡)𝑡0𝑑𝑡+𝑥̂̇𝑖+1𝑇(𝑡)𝜎(𝑡𝑖+1)𝑀̅∗𝑇𝑎𝑖−1+𝑥̂𝑖+1𝑇(𝑡)𝑘̃𝐼𝑖+1𝐼𝑖+1∗（4.31）则根据式（4.15），可以得到：𝐼𝑖+1∗=−∫𝑘̃𝐼(𝑥̂𝑑(𝑡)−𝑥̂(𝑡))𝑡𝑠0𝑑𝑡+∑𝑘̃𝐼𝑖𝑛−1𝑖=𝑘𝑥̂𝑖(𝑡)∆𝑡𝑖)（4.32）可以得出结论：I*j≤M̅*Taij,j=1⋯na。由于Is=∫k̃I(x̂d(t)-x̂(t))ts0dt，可以表明：𝑉̇𝑖+1(𝑥̂(𝑡),𝑥̂̇(𝑡))=−𝑥̂̇𝑖+1𝑇(𝑡)𝑘̃𝐷𝑖+1𝑥̂̇𝑖+1(𝑡)−|𝑥̂̇𝑖+1𝑇(𝑡)|𝐽̅𝑐𝑇(𝑥)𝑘̅𝐼𝑗∫𝑒(𝑡)𝑡0𝑑𝑡+𝑥̂̇𝑖𝑇(𝑡)∑𝑘̃𝐼𝑖𝑛−1𝑖=𝑘𝑥̂𝑖(𝑡)∆𝑡𝑖+𝑥̂̇𝑖+1𝑇(𝑡)𝜎(𝑡𝑖+1)(−𝑘̅𝑃𝑥̂𝑖(𝑡)−𝑘̃𝐷𝑖𝑥̂̇𝑖(𝑡)−∑𝑘̃𝐼𝑖𝑛−1𝑖=𝑘𝑥̂𝑖(𝑡)∆𝑡𝑖+𝜎(𝑡𝑖)𝑀̅∗𝑇𝑎𝑖−1)+𝑥̂𝑖+1𝑇(𝑡)𝑘̃𝐼𝑖+1𝐼𝑖+1∗（4.33）其中x̂̇i+1T(t)=x̂̇iT(t)+∆ti+1x̂̈i(t)。考虑到V̇1(x̂(t),x̂̇(t))为负半定，忽略高阶项且用x̂̇Ti+1(t)代入式（4.33）并延用（4.27）获得的结果，使用相同的方法如[101]所示：Φ(𝑡)≤Ψ(𝑡)（4.34）其中Φ(𝑡)=−𝑥̂̇𝑖+1𝑇(𝑡)𝑘̃𝐷𝑖+1𝑥̂̇𝑖+1(𝑡)−|𝑥̂̇𝑖+1𝑇(𝑡)|𝐽̅𝑐𝑇(𝑥)𝑘̅𝐼𝑗∫𝑒(𝑡)𝑡0𝑑𝑡Ψ(𝑡)=𝑥̂̇𝑖𝑇(𝑡)∑𝑘̃𝐼𝑖𝑛−1𝑖=𝑘𝑥̂𝑖(𝑡)∆𝑡𝑖−𝑥̂𝑖+1𝑇(𝑡)𝑘̃𝐼𝑖+1𝐼𝑖+1∗+𝜎(𝑡𝑖+1)𝑥̂̇𝑖+1𝑇(𝑡)𝑘̅𝑃𝑥̂𝑖(𝑡)−𝜎(𝑡𝑖+1)|𝑥̂̇𝑖+1𝑇(𝑡)|𝐽̅𝑐𝑇(𝑥)𝑘̅𝐼𝑗∫𝑒(𝑡)𝑡0𝑑𝑡+𝜎(𝑡𝑖+1)𝑥̂𝑖+1𝑇(𝑡)𝑘̃𝐼𝑖+1𝐼𝑖+1∗+45∆𝑡𝑖+1𝜎(𝑡𝑖+1)(𝑘̃𝑃+𝑘̃𝐷+𝑘̃𝐼+(𝐶𝑖(𝑥,𝑥̇)𝑥̇+𝐹𝑖(𝑥̇)+𝐺𝑖(𝑥)−𝛿(𝑥,𝑥̇,𝑥̈))+𝐽̅𝑐𝑇(𝑥)𝑘̃𝐼∫𝑒(𝑡)𝑡0𝑑𝑡)𝑇𝑀̃𝑖(𝑥)(𝑘̃𝑃+𝑘̃𝐷+𝑘̃𝐼)而其中，𝑘̃𝑃=𝑘̃𝑃(𝑥̂𝑖(𝑡)+𝜎(𝑡𝑖)𝑥̂𝑖−1(𝑡)+⋯+∏𝜎(𝑡𝑖)𝑛𝑖=2𝑥̂1(𝑡))（4.35）𝑘̃𝐷=𝑘̃𝐷𝑖𝑥̂̇𝑖(𝑡)+𝜎(𝑡𝑖)𝑘̃𝐷𝑖−1𝑥̂𝑖−1(𝑡)+⋯+∏𝜎(𝑡𝑖)𝑛𝑖=2𝑘̃𝐷1𝑥̂1(𝑡)（4.36）𝑘̃𝐼=∑𝑘̃𝐼𝑖𝑥̂𝑖(𝑡)𝑛−1𝑖=𝑘∆𝑡𝑖+𝜎(𝑡𝑖)∑𝑘̃𝐼𝑖𝑥̂𝑖(𝑡)𝑛−2𝑖=𝑘∆𝑡𝑖+⋯+∏𝜎(𝑡𝑖)𝑛𝑖=𝑘+2𝑘̃𝐷𝑘𝑥̂𝑘(𝑡)∆𝑡𝑘（4.37）在Φ(t)，Ψ(t)中，如果x̂i+1(t)≠0，等号左边Φ(t)始终为负数，可以通过选择较大的阻尼增益k̃D来增加数值。当σ(tj)=0时，等号右边Ψ(t)由两项组成，其中第二项是正定的；在这种情况下，通过选择较大大阻尼增益k̃D来满足σ(tj)=0的条件，并将其整合到积分项k̃I中。对于σ(tj)≠0的情况，当Ψ(t)≥0时即保证满足上述条件。为了满足这个条件，当Ψ(t)<0时，Ψ(t)必须小于Φ(t)，尽管积分器增益选择大于非模糊控制器，但是由于积分器只在x̂j(t)≤J̅cT(x)k̃I∫e(t)t0dt/k̃Pj时执行，所以对于每个任务坐标，其总和值较小。另外，由于σ(ti)的值小于1，所以在Ψ(t)中，第五项的量近似等于或小于第二项；Ψ(t)中第四项和Φ(t)中第二项的值也是一样的。若Δtn选择值较小时也会导致Ψ(t)的值较小，因此通过选择较小的时间范围和相对于k̃D来说更小的增益k̃P，可以使Φ(t)比限定区域中的Ψ(t)小，从而使条件满足。因此，式（4.34）引入了选择增益和时间范围的标准方法。由于V(x̂(t),x̂̇(t))只在原点消失，此外V(x̂(t),x̂̇(t))→∞则‖x̂(t),x̂̇(t)‖→∞，因此V(x̂(t),x̂̇(t))是负半定函数，根据Lyapunov全局稳定性定理，该算法是全局渐近稳定的。至此，证明完毕。

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